Azure Functions 向けの拡張機能を入れたところで、.NET Coreのプロジェクトがだめになるっていうものに対する修正版が出てたようです。
https://blogs.msdn.microsoft.com/webdev/2016/12/01/visual-studio-tools-for-azure-functions/
Update 12-6-16 @5:00 PM: Updated version of the tools are available that fix the ability to open .NET Core projects with Azure Functions tools installed. Install the updated version over your old version to fix the issue, there is no need to uninstall the previous copy.
というわけで、入れてみたところ・・・
インストール完了。
プロジェクトの新規作成で、ASP.NET Coreのプロジェクトテンプレートから作成したみところ、無事にできました。
良かった良かったー